lunes, 15 de marzo de 2010

Método de Cross

Vigas Hiperestatica

En estática, una estructura es hiperestática o estáticamente indeterminada cuando está en equilibrio pero las ecuaciones de la estática resultan insuficientes para determinar todas las fuerzas internas o las reacciones. [Una estructura en equilibrio estable que no es hiperestática es isoestática]. Existen diversas formas de hiperestaticidad:
• Una estructura es internamente hiperestática si las ecuaciones de la estática no son suficientes para determinar los esfuerzos internos de la misma.
• Una estructura es externamente hiperestática si las ecuaciones de la estática no son suficientes para determinar fuerzas de reacción de la estructura al suelo o a otra estructura.
Una estructura es completamente hiperestática si es internamente y externamente hiperestática.
El método más usual para analizar este tipo de vigas es el método de Cross

Método de Cross

Método desarrollado por Hardy Cross en 1932, parte de una estructura ideal cuyos nodos están perfectamente rígidos, lo que obliga que para llegar a la estructura real es necesario realizar dos pasos: 1. Distribuir los momentos de desequilibrio que se presentan en cada nodo. 2. Estos momentos de desequilibrio distribuidos afectan el otro extremo de la barra.
Su cuantificación se hace a través de un factor de transporte. Al realizar este transporte se vuelve a desequilibrar la viga lo que obliga a realizar una nueva distribución. Este proceso termina cuando el momento distribuido, sea tan pequeño que no afecte el resultado del momento final. Secuela de cálculo:
• Se consideran perfectamente empotrados todos los apoyos y se calculan los momentos de empotramiento.
• Se calculan las rigideces para cada barra con la fórmula R=(4EI)/l; en caso de que todas las barras de la viga sean del mismo material la fórmula se podrá reducir a R=(4I)/l; si además de estos todas las barras tienen la misma sección podemos utilizar la fórmula R=4/l.
• Se calculan los factores de distribución por nodo y por barra a través de la fórmula fd= ri/Sri, que significa la rigidez de la barra i entre la suma de las rigideces de las barras que concurren a ese nodo. Para el caso de los extremos libremente apoyados o en cantiliber el factor de distribución es 1 y si es empotrado 0.
• Se hace la primera distribución multiplicando el momento desequilibrado por los factores de distribución de las barras que concurren a ese nodo, verificando que la suma de los momentos distribuidos sea igual al momento de desequilibrio. Cuando los momentos tengan el mismo signo, el momento desequilibrado se encuentra restando al mayor el menor, y cuando son de diferente signo se suman. A los momentos distribuidos en los nodos centrales se le coloca signo negativo (-) al menor y positivo (+) al mayor, en los extremos siempre se cambia el signo. e) Se realiza el primer transporte; los momentos distribuidos se multiplican por el factor de transporte ft= 0.5 para encontrar los momentos que se van a transmitir al otro extremo de la barra y siempre al transportarlo se le cambia el signo.
• Se repiten los dos pasos anteriores hasta que el momento distribuido sean menores del 10% de los momentos de empotramiento. Generalmente esto sucede en la 3a o 4a distribución.
Los momentos finales se encontraran sumando todos los momentos distribuidos y transportados; verificando que el momento final de las barras que concurren al nodo sean iguales.

Método de los Tres Momentos

Desarrollado por Clapeyron para el cálculo de las vigas continuas es un método muy operativo e interesante por la forma de aplicación del principio de superposición así como por la introducción de las condiciones de continuidad en la tangente de la elástica.
Vigas Continuas. Cuando se trabajan con vigas con más de un tramo, las reacciones no pueden ser calculadas estáticamente. Una forma de resolverlas es aplicando el Teorema de los Tres Momentos, el cual puede ser utilizado también para resolver vigas de un solo tramo. Esta ecuación puede ser expresada de la siguiente manera:

M1L1 + 2M2(L1 + L2) + M3L2 + (6A1a1)/L1 + (6A2b2)/L2 = 0
Donde:
M1, M2, M3 : Momento flectores en los apoyos 1, 2 y 3L1, L2 : Longitudes de los tramos 1 y 2A1, A2 : Área del diagrama de Momentos Flectores de las Cargas sobre los tramos 1 y 2a1 : Distancia del centro del diagrama de Momentos Flectores del tramo 1 al apoyo 1.b2 : Distancia del centro del diagrama de Momentos Flectores del tramo 2 al apoyo 3.

Los términos (6A1a1)/L1 y (6A2b2)L2 pueden obtenerse fácilmente de la siguiente tabla, que agrupa los 6 tipos de cargas básicos.
Estos tipos básicos de carga pueden combinarse para obtener tipos más complejos, sumándose o restándose.
Si se va a trabajar con más de dos tramos, deben escribirse una ecuación de Tres Momentos por cada par de tramos consecutivos. Por ejemplo:

Tramo 1-2:
M1L1 + 2M2(L1 + L2) + M3L2 + (6A1a1)/L1 + (6A2b2)/L2 = 0

Tramo 2-3:
M2L2 + 2M3(L2 + L3) + M4L3 + (6A2a2)/L2 + (6A3b3)/L3 = 0

Tramo 3-4:
M3L3 + 2M4(L3 + L4) + M5L4 + (6A3a3)/L3 + (6A4b4)/L4 = 0

En este caso tendríamos 3 ecuaciones con 5 incógnitas (M1, M2, M3, M4 y M5). Generalizando, siempre vamos a tener dos incógnitas más que las ecuaciones de Tres Momentos que vamos a construir. Pero los momentos en tos extremos pueden ser hallados de acuerdo a los siguientes criterios:
1º Si tenemos un apoyo simple, el momento en dicho extremo será igual a cero. Para el diagrama de arriba, M1 = 0 y M5 = 0.
2º Si tenemos un empotramiento, se puede construir una ecuación adicional de Tres Momentos, creando un tramo virtual en el que todos los valores sean iguales a cero.
Para el diagrama de arriba, si suponemos que el apoyo 5 es un apoyo empotrado, podríamos escribir la siguiente ecuación de Tres Momentos, en donde todos los términos con subíndice cero valen cero:

M4L4 + 2M5(L4 + L0) + M0L0 + (6A4a4)/L4 + (6A0b0)/L0 = 0

M4L4 + 2M5L4 + (6A4a4)/L4 = 0
O sea 3º Si tenemos un voladizo, el momento en tal extremo seguirá valiendo cero. Además, el momento siguiente al de dicho extremo será igual a la suma de los productos de las cargas por su brazo de palanca a este último apoyo.
Aplicando el Teorema de los Tres Momentos es fácil obtener los momentos flectores en cada apoyo. Hallar las reacciones en cada apoyo es igualmente sencillo, utilizando la siguiente fórmula, para cada tramo:

R1=(M2-M1)/L1 < r2="">
Posteriormente, las reacciones equivalentes de cada tramo se suman. Por ejemplo:

R1=(M2-M1)/L1

R2=(M1-M2)/L1 + (M3-M2)/L2

R3=(M2-M3)/L2 + (M4-M3)/L3

R4=(M3-M4)/L3 + (M5-M4)/L4

R5=(M4-M5)/L4
Por medio de este teorema puede analizar una viga apoyada por cualquier número de apoyos, esto se debe a que relaciona los momentos flexionante en 3 apoyos entre sí y con las cargas que se encuentran en la viga.

Artistasdelaconstruccion

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